سوال ۹ — سؤال ۹ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۳۹۹

الف) تابع $f$ در صفر پیوسته نیست؛ بنابراین $f'(0)$ موجود نیست.

ب)

$$f'(x) = \begin{cases} 2x & x > 0 \\ 2 & x < 0 \end{cases}$$

پ)

الف) تابعی که در نقطه‌ای مشتق‌پذیر باشد، در آن نقطه حتماً پیوسته است. پس کافی است نشان دهیم $f$ در صفر پیوسته نیست:

$$f(0) = 0^2 = 0 , \qquad \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (2x + 1) = 1$$

حد چپ ($1$) با مقدار تابع ($0$) برابر نیست، پس $f$ در $x = 0$ پیوسته نیست و در نتیجه $f'(0)$ وجود ندارد.

ب) هر ضابطه را جداگانه مشتق می‌گیریم:

$$x > 0: \ (x^2)' = 2x , \qquad x < 0: \ (2x + 1)' = 2$$

چون $f'(0)$ وجود ندارد، $x = 0$ در دامنهٔ $f'$ نیست:

$$f'(x) = \begin{cases} 2x & x > 0 \\ 2 & x < 0 \end{cases}$$

پ) برای $x < 0$ نمودار $f'$ خط افقی $y = 2$ است. برای $x > 0$ نمودار، نیم‌خط $y = 2x$ است که از نزدیکی مبدأ شروع می‌شود و مثلاً از $(1, 2)$ می‌گذرد. چون $x = 0$ در دامنه نیست، دو سر نمودار در $x = 0$ یعنی $(0, 2)$ و $(0, 0)$ را با دایرهٔ توخالی نشان می‌دهیم (شکل پاسخ).