سوال ۱۶ — سؤال ۱۶ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۳۹۹

الف) ۱) $2$ — ۲) $-\infty$

ب) تابع در $x = -1$ و $x = 1$ مشتق‌پذیر نیست.

الف ۱) وقتی $x$ به سمت $-\infty$ (چپِ نمودار) می‌رود، شاخهٔ چپ نمودار به خط‌چین افقی $y = 2$ نزدیک و نزدیک‌تر می‌شود. پس:

$$\lim_{x \to -\infty} f(x) = 2$$

الف ۲) وقتی $x$ از سمت راست به $-1$ نزدیک می‌شود، روی شاخهٔ راست نمودار هستیم که در کنار مجانب قائم $x = -1$ بی‌پایان پایین می‌رود. پس:

$$\lim_{x \to (-1)^+} f(x) = -\infty$$

(از سمت چپ، نمودار بی‌پایان بالا می‌رود؛ ولی این‌جا فقط حد راست خواسته شده است.)

ب) تابع در نقطه‌ای مشتق‌پذیر نیست که در آن تعریف نشده باشد، ناپیوسته باشد، یا نمودارش آنجا گوشه‌دار (نوک تیز) باشد.

• در $x = -1$ تابع تعریف نشده است (مجانب قائم دارد)، پس مشتق‌پذیر نیست.
• در $x = 1$ نمودار گوشه‌دار است: شیب سمت چپ مثبت است (منحنی بالا می‌رود) و شیب سمت راست منفی است (خط پایین می‌آید). مشتق چپ و راست برابر نیستند، پس تابع در این نقطه مشتق‌پذیر نیست.