سوال ۶ — سؤال ۶ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۳۹۹

$$1 - \sin^2 x - \sin x = \frac{1}{4} \Rightarrow \sin^2 x + \sin x - \frac{3}{4} = 0$$ $$\sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow \begin{cases} x = 2k\pi + \frac{\pi}{6} \\ x = 2k\pi + \pi - \frac{\pi}{6} \end{cases}$$ $$\sin x = -\frac{3}{2} \quad \text{غیرقابل قبول}$$

گام ۱: همه‌چیز بر حسب $\sin x$. از اتحاد $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ داریم $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$:

$$1 - \sin^2 x - \sin x = \frac{1}{4}$$

همهٔ جمله‌ها را به یک طرف می‌بریم:

$$\sin^2 x + \sin x - \frac{3}{4} = 0$$

گام ۲: حل معادلهٔ درجهٔ دوم. اگر $t = \sin x$ بگیریم، معادله $t^2 + t - \frac{3}{4} = 0$ می‌شود. با ضرب در ۴:

$$4t^2 + 4t - 3 = 0 \Rightarrow (2t - 1)(2t + 3) = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{2} \ \ \text{یا} \ \ t = -\frac{3}{2}$$

گام ۳: جواب غیرقابل قبول. مقدار سینوس همیشه بین $-1$ و $1$ است، پس $\sin x = -\frac{3}{2}$ جواب ندارد.

گام ۴: حل $\sin x = \frac{1}{2}$. می‌دانیم $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$. جواب کلی $\sin x = \sin\alpha$ این است:

$$x = 2k\pi + \alpha \quad \text{یا} \quad x = 2k\pi + \pi - \alpha \qquad (k \in \mathbb{Z})$$

پس:

$$x = 2k\pi + \frac{\pi}{6} \quad \text{یا} \quad x = 2k\pi + \frac{5\pi}{6}$$