سوال ۱۰ — سؤال ۱۰ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۳۹۹

الف)

$$f'(x) = \frac{3\sqrt{x} - \frac{1}{2\sqrt{x}}(3x + 1)}{(\sqrt{x})^2}$$

ب)

$$g'(x) = \left(-\frac{1}{x^2}\right)(x^2 + 5x)^7 + \left(\frac{1}{x}\right)\Big(7(2x + 5)(x^2 + 5x)^6\Big)$$

الف) قاعدهٔ مشتق خارج‌قسمت:

$$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$

اینجا $u = 3x + 1$ و $v = \sqrt{x}$ است، پس:

$$u' = 3 , \qquad v' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

جایگذاری می‌کنیم:

$$f'(x) = \frac{3\sqrt{x} - \frac{1}{2\sqrt{x}}(3x + 1)}{(\sqrt{x})^2}$$

(اگر بخواهیم ساده کنیم: صورت برابر $\frac{6x - (3x + 1)}{2\sqrt{x}} = \frac{3x - 1}{2\sqrt{x}}$ است و مخرج $x$، پس $f'(x) = \frac{3x - 1}{2x\sqrt{x}}$.)

ب) قاعدهٔ مشتق ضرب: $(uv)' = u'v + uv'$ با:

$$u = \frac{1}{x} \Rightarrow u' = -\frac{1}{x^2}$$

برای $v = (x^2 + 5x)^7$ از قاعدهٔ مشتق توان (زنجیره‌ای) استفاده می‌کنیم: توان را جلو می‌آوریم، یکی از توان کم می‌کنیم و در مشتق داخل پرانتز ضرب می‌کنیم:

$$v' = 7(x^2 + 5x)^6 \cdot (2x + 5)$$

پس:

$$g'(x) = \left(-\frac{1}{x^2}\right)(x^2 + 5x)^7 + \left(\frac{1}{x}\right)\Big(7(2x + 5)(x^2 + 5x)^6\Big)$$