سوال ۱۷ — سؤال ۱۷ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۳۹۹

$$f'(x) = 2ax + b$$ $$f'(1) = 0 \Rightarrow 2a + b = 0 \Rightarrow a = 3$$ $$f(1) = -3 \Rightarrow a + b = -3 \Rightarrow b = -6$$

جملهٔ «در $x = 1$ اکسترمم نسبی برابر $-3$ دارد» دو اطلاع به ما می‌دهد:

شرط ۱: تابع مشتق‌پذیر است، پس در نقطهٔ اکسترمم مشتق صفر است:

$$f'(x) = 2ax + b \Rightarrow f'(1) = 2a + b = 0$$

شرط ۲: مقدار تابع در این نقطه $-3$ است:

$$f(1) = a(1)^2 + b(1) = a + b = -3$$

حل دستگاه: معادلهٔ دوم را از اول کم می‌کنیم:

$$(2a + b) - (a + b) = 0 - (-3) \Rightarrow a = 3$$ $$a + b = -3 \Rightarrow 3 + b = -3 \Rightarrow b = -6$$

بررسی: $f(x) = 3x^2 - 6x$ سهمیِ رو به بالاست و رأس آن در $x = -\frac{b}{2a} = \frac{6}{6} = 1$ است؛ مقدار آن $f(1) = 3 - 6 = -3$ و این نقطه مینیمم نسبی است.