سوال ۷ — سؤال ۷ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۳۹۹

الف)

$$\lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 3)(2 + \sqrt{x + 1})}{(2 - \sqrt{x + 1})(2 + \sqrt{x + 1})} = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 3)(2 + \sqrt{x + 1})}{-(x - 3)} = -24$$

ب)

$$\lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{[x] - 3}{|2x - 1|} = \frac{-3}{0^+} = -\infty$$

پ)

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^3}{6x^3} = \frac{1}{3}$$

الف) با جایگذاری $x = 3$ صورت $9 - 9 = 0$ و مخرج $2 - \sqrt{4} = 0$ می‌شود؛ حالت مبهم $\frac{0}{0}$ است. برای رفع ابهام، صورت و مخرج را در مزدوج مخرج یعنی $2 + \sqrt{x + 1}$ ضرب می‌کنیم. مخرج این‌طور ساده می‌شود:

$$(2 - \sqrt{x + 1})(2 + \sqrt{x + 1}) = 4 - (x + 1) = 3 - x = -(x - 3)$$

صورت را هم تجزیه می‌کنیم: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$. عامل $(x - 3)$ از صورت و مخرج ساده می‌شود:

$$\lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 3)(2 + \sqrt{x + 1})}{-(x - 3)} = \lim_{x \to 3} -(x + 3)(2 + \sqrt{x + 1}) = -(6)(2 + 2) = -24$$

ب) وقتی $x$ به $\frac{1}{2}$ نزدیک می‌شود (از هر دو طرف)، $x$ بین $0$ و $1$ است، پس $[x] = 0$ و صورت به $0 - 3 = -3$ نزدیک می‌شود.

مخرج $|2x - 1|$ به صفر نزدیک می‌شود و چون قدرمطلق است، همیشه مثبت است؛ یعنی به $0^+$ میل می‌کند. تقسیم عدد منفی $-3$ بر عددهای مثبتِ بسیار کوچک، عددهای منفیِ بسیار بزرگ می‌دهد:

$$\lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{[x] - 3}{|2x - 1|} = \frac{-3}{0^+} = -\infty$$

پ) در حد بی‌نهایتِ یک تابع گویا، فقط جملهٔ با بزرگ‌ترین توان در صورت و مخرج تعیین‌کننده است (بقیهٔ جمله‌ها در برابر آن ناچیزند):

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^3 - 5x + 1}{6x^3 - 11x^2 - 3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^3}{6x^3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$