شهریور ۱۳۹۹

امتحان نهایی ریاضی ۳

سوالات و پاسخ‌های تشریحی امتحان نهایی ریاضی ۳
همراه با بارم‌بندی و نکات کلیدی

۲۴ بارم کل۲۱ تعداد سوال۱۲۰ دقیقه زماندانلود PDF

سوال ۲ — سؤال ۲ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۳۹۹

۰.۵ بارم

در جاهای خالی عبارت مناسب قرار دهید.

الف) توابع اکیداً یکنوا، همواره ........ هستند.

ب) اگر تابع ff در x=ax = a مشتق‌پذیر باشد، آنگاه ff در aa، ........ است.

دیدن پاسخپاسخ این سوال همراه با حل تشریحی و نکات آموزشی
در یک قدمی شماست!پاسخ تشریحیبستن پاسخ

الف) یکنوا — ب) پیوسته

راه‌حل قدم‌به‌قدم

الف) یکنوا. تابع اکیداً صعودی در شرط صعودی بودن هم صدق می‌کند:

x1<x2⇒f(x1)<f(x2)⇒f(x1)≤f(x2)x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2) \quad \Rightarrow \quad f(x_1) \le f(x_2)

به همین ترتیب هر تابع اکیداً نزولی، نزولی هم هست. پس هر تابع اکیداً یکنوا، یکنوا است. (عکس آن درست نیست: تابع ثابت یکنواست ولی اکیداً یکنوا نیست.)

هر تابع اکیداً یکنوا یک‌به‌یک هم هست، پس «یک‌به‌یک» هم جملهٔ درستی می‌سازد؛ اما راهنمای تصحیح رسمی فقط «یکنوا» را پاسخ نوشته است.

ب) پیوسته. مشتق‌پذیری پیوستگی را نتیجه می‌دهد. اگر f′(a)f'(a) وجود داشته باشد:

lim⁡x→a(f(x)−f(a))=lim⁡x→af(x)−f(a)x−a⋅(x−a)=f′(a)⋅0=0\lim_{x \to a} \big(f(x) - f(a)\big) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \cdot (x - a) = f'(a) \cdot 0 = 0

یعنی lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x \to a} f(x) = f(a) و تابع در aa پیوسته است. (عکس آن درست نیست: ∣x∣|x| در صفر پیوسته است ولی مشتق‌پذیر نیست.)

این پاسخ مفید بود؟