سوال ۱ — سؤال ۱ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۳۹۹

الف) درست — ب) نادرست — پ) درست

الف) درست. ضابطهٔ $kf(x)$ در هر نقطه‌ای که $f(x)$ تعریف شده باشد تعریف می‌شود، و در هر نقطه‌ای که $f(x)$ تعریف نشده باشد، $kf(x)$ هم معنا ندارد. ضرب کردن در عدد $k$ فقط عرض نقطه‌های نمودار را تغییر می‌دهد (کشیدن یا فشردن عمودی) و طول نقطه‌ها دست نمی‌خورد؛ پس دامنه همان دامنهٔ $f$ می‌ماند.

ب) نادرست. بازهٔ $[-1, 1]$ برد $\sin x$ و $\cos x$ است، نه تانژانت. تانژانت از $1$ بزرگ‌تر هم می‌شود؛ مثلاً:

در واقع نمودار $\tan x$ در هر شاخه (بین دو مجانب قائم) از $-\infty$ تا $+\infty$ بالا می‌رود، پس برد آن همهٔ عددهای حقیقی یعنی $\mathbb{R}$ است.

پ) درست. اگر تابع در نقطهٔ $c$ اکسترمم نسبی داشته باشد، یا مماس بر نمودار در آن نقطه افقی است ($f'(c) = 0$) یا نمودار در آنجا گوشه‌دار است و $f'(c)$ وجود ندارد. نقطه‌ای از دامنه که $f'$ در آن صفر است یا وجود ندارد، همان نقطهٔ بحرانی است. پس هر نقطهٔ اکسترمم نسبی، بحرانی هم هست.

عکس این جمله همیشه درست نیست: برای $y = x^3$ داریم $y'(0) = 0$، پس $x = 0$ بحرانی است، ولی تابع در آنجا اکسترمم ندارد.