سوال ۱۲ — سؤال ۱۲ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۳۹۹

$$f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow \begin{cases} x = -1 \\ x = 1 \end{cases}$$ $$f(-1) = 9 , \quad f(1) = 5 , \quad f(3) = 25$$

ماکزیمم مطلق: $(3, 25)$ — مینیمم مطلق: $(1, 5)$

تابع چندجمله‌ای است، پس روی بازهٔ بستهٔ $[-1, 3]$ پیوسته است و حتماً ماکزیمم و مینیمم مطلق دارد. این اکسترمم‌ها یا در نقطه‌های بحرانی درون بازه رخ می‌دهند یا در دو سر بازه.

گام ۱: نقطه‌های بحرانی.

$$f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = -1 \ \ \text{یا} \ \ x = 1$$

هر دو در بازهٔ $[-1, 3]$ هستند ($x = -1$ همان سر چپ بازه است).

گام ۲: مقدار تابع در نقطه‌های بحرانی و دو سر بازه.

$$f(-1) = -1 + 3 + 7 = 9$$ $$f(1) = 1 - 3 + 7 = 5$$ $$f(3) = 27 - 9 + 7 = 25$$

گام ۳: مقایسه. بزرگ‌ترین مقدار $25$ است، پس ماکزیمم مطلق تابع $25$ و در $x = 3$ است. کوچک‌ترین مقدار $5$ است، پس مینیمم مطلق تابع $5$ و در $x = 1$ است.