سوال ۳ — سؤال ۳ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۳۹۹

الف)

$$D_f = [1, +\infty) , \quad D_g = \mathbb{R} \Rightarrow D_{fog} = \{x \in D_g \mid g(x) \in D_f\}$$ $$= \{x \in \mathbb{R} \mid 2x^2 - 1 \in [1, +\infty)\} \Rightarrow D_{fog} = (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$$

ب)

$$f(g(x)) = \sqrt{2x^2 - 2}$$

الف) طبق تعریف، $x$ در دامنهٔ $fog$ است اگر دو شرط برقرار باشد: خود $x$ در دامنهٔ $g$ باشد، و خروجی $g(x)$ در دامنهٔ $f$ باشد.

دامنهٔ هر تابع: زیر رادیکال باید نامنفی باشد، پس $x - 1 \ge 0$ و $D_f = [1, +\infty)$. تابع $g$ چندجمله‌ای است، پس $D_g = \mathbb{R}$.

شرط دوم: $g(x)$ باید در $[1, +\infty)$ باشد:

$$2x^2 - 1 \ge 1 \Rightarrow 2x^2 \ge 2 \Rightarrow x^2 \ge 1 \Rightarrow x \le -1 \ \ \text{یا} \ \ x \ge 1$$

شرط اول ($x \in \mathbb{R}$) چیزی را حذف نمی‌کند، پس:

$$D_{fog} = (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$$

ب) به جای $x$ در ضابطهٔ $f$، عبارت $g(x)$ را می‌گذاریم:

$$(fog)(x) = f(g(x)) = \sqrt{g(x) - 1} = \sqrt{(2x^2 - 1) - 1} = \sqrt{2x^2 - 2}$$

بررسی: زیر رادیکال $2x^2 - 2$ دقیقاً وقتی نامنفی است که $x^2 \ge 1$ باشد؛ همان دامنه‌ای که در بخش الف به دست آمد.