سوال ۱۵ — سؤال ۱۵ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۳۹۹

زاویهٔ $15^\circ$ نصف زاویهٔ آشنای $30^\circ$ است. از فرمول کسینوس دو برابر زاویه شروع می‌کنیم:

$$\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \Rightarrow \sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$$

با $\alpha = 15^\circ$ (یعنی $2\alpha = 30^\circ$):

$$\sin^2 15^\circ = \frac{1 - \cos 30^\circ}{2} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4}$$

چون $15^\circ$ در ربع اول است، $\sin 15^\circ$ مثبت است و ریشهٔ مثبت را برمی‌داریم:

$$\sin 15^\circ = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$$