سوال ۲۰ — سؤال ۲۰ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۳۹۹

وقتی دایره بر یک خط مماس است، شعاع دایره برابر فاصلهٔ مرکز تا آن خط است.

گام ۱: فاصلهٔ مرکز تا خط. خط را به شکل $3x + 4y - 1 = 0$ می‌نویسیم. فاصلهٔ نقطهٔ $(x_0, y_0)$ از خط $ax + by + c = 0$ برابر است با:

$$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

با نقطهٔ $(1, 2)$:

$$R = \frac{|3 \times 1 + 4 \times 2 - 1|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|10|}{\sqrt{25}} = \frac{10}{5} = 2$$

گام ۲: معادلهٔ دایره. معادلهٔ دایره به مرکز $(\alpha, \beta)$ و شعاع $R$ برابر $(x - \alpha)^2 + (y - \beta)^2 = R^2$ است:

$$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$$