سوال ۱۸ — سؤال ۱۸ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۳۹۹

الف) بیضی — ب) دایره — پ) مستقل — ت) $P(A \mid B)$

الف) بیضی. برخورد صفحه با سطح مخروطی (وقتی از رأس نگذرد) چهار حالت دارد:

• صفحه بر محور عمود باشد: دایره؛
• صفحه بر محور عمود نباشد و با هیچ مولدی موازی نباشد: بیضی؛
• صفحه با یک مولد موازی باشد: سهمی؛
• صفحه هر دو نیمهٔ سطح مخروطی را ببرد (مثلاً با محور موازی باشد): هذلولی.

در این عبارت صفحه نه عمود است و نه با هیچ مولدی موازی، پس شکل حاصل بیضی است.

ب) دایره. خروج از مرکز بیضی $e = \frac{c}{a}$ است. اگر $e \to 0$، یعنی $c$ در برابر $a$ ناچیز شود، دو کانون به مرکز نزدیک می‌شوند و از $b^2 = a^2 - c^2$ نتیجه می‌شود $b \to a$. وقتی دو قطر بیضی تقریباً برابر شوند، بیضی به دایره نزدیک می‌شود.

پ) مستقل. تعریف پیشامدهای مستقل همین است: رخ دادن یکی، احتمال دیگری را تغییر نمی‌دهد، یعنی $P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$. (پیشامدهای ناسازگار آن‌هایی هستند که با هم رخ نمی‌دهند؛ $A \cap B = \varnothing$.)

ت) $P(A \mid B)$. احتمال شرطی «$A$ به شرط $B$» را با $P(A \mid B)$ نشان می‌دهیم؛ پیشامدِ شرط (آنچه می‌دانیم رخ داده) بعد از خط عمودی می‌آید: