سوال ۹ — سؤال ۹ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۴

الف)

$$\lim_{x \to 4} \frac{3 - \sqrt{x + 5}}{x - 4} \times \frac{3 + \sqrt{x + 5}}{3 + \sqrt{x + 5}} = \lim_{x \to 4} \frac{9 - x - 5}{(x - 4)(3 + \sqrt{x + 5})}$$ $$= \lim_{x \to 4} \frac{-(x - 4)}{(x - 4)(3 + \sqrt{x + 5})} = -\frac{1}{6}$$

ب) $-\infty$

پ)

$$\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2}{x^3} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0$$

الف) با جایگذاری $x = 4$ صورت $3 - \sqrt{9} = 0$ و مخرج هم صفر می‌شود (حالت $\frac{0}{0}$). برای رفع ابهام، صورت و مخرج را در مزدوج صورت، یعنی $3 + \sqrt{x + 5}$، ضرب می‌کنیم. از اتحاد مزدوج $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$:

$$\big(3 - \sqrt{x + 5}\big)\big(3 + \sqrt{x + 5}\big) = 9 - (x + 5) = 4 - x = -(x - 4)$$

پس:

$$\lim_{x \to 4} \frac{-(x - 4)}{(x - 4)(3 + \sqrt{x + 5})} = \lim_{x \to 4} \frac{-1}{3 + \sqrt{x + 5}} = \frac{-1}{3 + 3} = -\frac{1}{6}$$

ب) با جایگذاری $x = 1$ صورت برابر $2$ و مخرج برابر $1 - 3 + 2 = 0$ می‌شود؛ پس حد بی‌نهایت است و باید علامت مخرج را بررسی کنیم. مخرج را تجزیه می‌کنیم:

$$x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$$

وقتی $x \to 1^+$ (کمی بزرگ‌تر از ۱)، عامل $x - 1$ مثبت و نزدیک صفر است و عامل $x - 2$ نزدیک $-1$ (منفی) است؛ پس مخرج از طرف منفی به صفر نزدیک می‌شود:

$$\lim_{x \to 1^+} \frac{x + 1}{(x - 1)(x - 2)} = \frac{2}{0^-} = -\infty$$

پ) در حد یک کسر گویا وقتی $x \to -\infty$، فقط جملهٔ با بیشترین توان در صورت و مخرج تعیین‌کننده است:

$$\lim_{x \to -\infty} \frac{3 + x + x^2}{x^3 - 2x^2 + 2} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2}{x^3} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0$$

چون درجهٔ مخرج (۳) از درجهٔ صورت (۲) بیشتر است، حاصل صفر می‌شود.