سوال ۳ — سؤال ۳ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۴

الف)

$$(fog)(x) = \frac{1}{1 - \sqrt{x - 3}}$$

ب)

$$D_f = \mathbb{R} - \{1\} , \qquad D_g = [3, +\infty)$$ $$D_{fog} = \{x \in D_g \mid g(x) \in D_f\} = \{x \in [3, +\infty) \mid g(x) \in \mathbb{R} - \{1\}\}$$ $$= \{x \ge 3 \mid \sqrt{x - 3} \ne 1\} = [3, +\infty) - \{4\}$$

الف) در $(fog)(x) = f\big(g(x)\big)$ به جای $x$ در ضابطهٔ $f$، خودِ $g(x)$ را قرار می‌دهیم:

$$(fog)(x) = f\big(g(x)\big) = f\big(\sqrt{x - 3}\big) = \frac{1}{1 - \sqrt{x - 3}}$$

ب) طبق تعریف، دامنهٔ $fog$ همهٔ $x$هایی از دامنهٔ $g$ است که $g(x)$ آن‌ها در دامنهٔ $f$ باشد:

$$D_{fog} = \{x \in D_g \mid g(x) \in D_f\}$$

گام ۱: دامنهٔ $g$. زیر رادیکال باید نامنفی باشد:

$$x - 3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 3 \Rightarrow D_g = [3, +\infty)$$

گام ۲: دامنهٔ $f$. مخرج کسر نباید صفر شود:

$$1 - x \ne 0 \Rightarrow x \ne 1 \Rightarrow D_f = \mathbb{R} - \{1\}$$

گام ۳: شرط $g(x) \in D_f$. یعنی $g(x)$ نباید برابر ۱ باشد:

$$\sqrt{x - 3} \ne 1 \Rightarrow x - 3 \ne 1 \Rightarrow x \ne 4$$

نتیجه: از بازهٔ $[3, +\infty)$ فقط عدد ۴ را کنار می‌گذاریم:

$$D_{fog} = [3, +\infty) - \{4\}$$

این با ضابطهٔ بند الف هم جور است: در $x = 4$ مخرج $1 - \sqrt{4 - 3} = 0$ می‌شود.