سوال ۱۰ — سؤال ۱۰ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۴

روش اول:

$$f'(1) = 2 = m = \frac{y_B - 3}{5 - 1} = \frac{y_B - 3}{4} \rightarrow y_B = 11$$

روش دوم:

$$m = f'(1) = 2 \rightarrow y = 2x + 1 \rightarrow y_B = 11$$

گام ۱: شیب خط $d$. شیب خط مماس بر نمودار در یک نقطه، برابر مشتق تابع در آن نقطه است. خط $d$ در نقطهٔ به طول ۱ مماس است؛ پس:

$$m_d = f'(1) = 2$$

گام ۲: معادلهٔ خط $d$. خط از $A(1, 3)$ با شیب ۲ می‌گذرد:

$$y - 3 = 2(x - 1) \Rightarrow y = 2x + 1$$

گام ۳: عرض $B$. طبق شکل، نقطهٔ $B$ روی خط $d$ است و طول آن ۵ است:

$$y_B = 2(5) + 1 = 11$$

(همین را می‌توان مستقیم از فرمول شیب بین دو نقطهٔ $A$ و $B$ هم به دست آورد: $\frac{y_B - 3}{5 - 1} = 2$ پس $y_B - 3 = 8$ و $y_B = 11$.)