سوال ۱۲ — سؤال ۱۲ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۴

الف)

$$f'(x) = 1404\left(\frac{2x - 1}{x}\right)^{1403} \left(\frac{2(x) - 1(2x - 1)}{x^2}\right)$$

ب)

$$g'(x) = \frac{5}{3\left(\sqrt[3]{5x + 3}\right)^2}$$

الف) تابع به شکل $u^n$ است با $u = \frac{2x - 1}{x}$ و $n = 1404$. طبق قاعدهٔ مشتق توان (قاعدهٔ زنجیری):

$$(u^n)' = n\,u^{n-1}\,u'$$

مشتق $u$ را با قاعدهٔ مشتق کسر به دست می‌آوریم:

$$\left(\frac{a}{b}\right)' = \frac{a'b - ab'}{b^2} \Rightarrow u' = \frac{2(x) - 1(2x - 1)}{x^2} = \frac{2x - 2x + 1}{x^2} = \frac{1}{x^2}$$

پس:

$$f'(x) = 1404\left(\frac{2x - 1}{x}\right)^{1403} \times \frac{1}{x^2}$$

(ساده کردن الزامی نیست؛ اگر ساده کنیم: $f'(x) = \frac{1404(2x - 1)^{1403}}{x^{1405}}$.)

ب) ریشهٔ سوم را به شکل توان می‌نویسیم: $g(x) = (5x + 3)^{\frac{1}{3}}$. با قاعدهٔ مشتق توان:

$$g'(x) = \frac{1}{3}(5x + 3)^{-\frac{2}{3}} \times 5 = \frac{5}{3(5x + 3)^{\frac{2}{3}}} = \frac{5}{3\left(\sqrt[3]{5x + 3}\right)^2}$$

این همان فرمول آشنای $\left(\sqrt[3]{u}\right)' = \frac{u'}{3\sqrt[3]{u^2}}$ با $u = 5x + 3$ و $u' = 5$ است.