سوال ۱۸ — سؤال ۱۸ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۴

روش اول ($E$: انتخاب یک میکروسکوپ با طول عمر بیش از ۱۰ سال):

$$P(E) = \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} + \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{4}{10} = 0.4$$

روش دوم:

$$P(E') = \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} + \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{10} = 0.6 \rightarrow P(E) = 1 - 0.6 = 0.4$$

میکروسکوپ بیرون‌آمده یا از نوع $A$ است یا از نوع $B$، و احتمال عمر بیش از ۱۰ سال به نوع آن بستگی دارد. پس از قانون احتمال کل استفاده می‌کنیم. پیشامد $E$ را «عمر میکروسکوپ بیش از ۱۰ سال است» می‌گیریم.

گام ۱: احتمال هر نوع. در جعبه ۵ میکروسکوپ هست:

$$P(A) = \frac{3}{5} , \qquad P(B) = \frac{2}{5}$$

گام ۲: احتمال‌های شرطی (از صورت سؤال):

$$P(E \mid A) = \frac{1}{2} , \qquad P(E \mid B) = \frac{1}{4}$$

همهٔ این احتمال‌ها را در نمودار درختی زیر می‌بینیم؛ شاخه‌های سبز به پیشامد $E$ می‌رسند:

گام ۳: قانون احتمال کل. احتمال هر مسیر سبز، حاصل‌ضرب احتمال‌های روی شاخه‌های آن است و $P(E)$ جمع این دو مسیر است:

$$P(E) = P(A)\,P(E \mid A) + P(B)\,P(E \mid B)$$ $$P(E) = \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} + \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{10} + \frac{1}{10} = \frac{4}{10} = 0.4$$

بررسی با متمم: احتمال اینکه عمر کمتر از ۱۰ سال باشد:

$$P(E') = \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} + \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{10} + \frac{3}{10} = 0.6 \Rightarrow P(E) = 1 - 0.6 = 0.4$$