سوال ۱۵ — سؤال ۱۵ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۴

روش اول:

$$3x + 5y = 30 \rightarrow y = -\frac{3}{5}x + 6$$ $$S = x \cdot y \rightarrow S(x) = x\left(-\frac{3}{5}x + 6\right) = -\frac{3}{5}x^2 + 6x \rightarrow S'(x) = -\frac{6}{5}x + 6 = 0 \rightarrow x = 5$$ $$x = 5 \rightarrow y = 3$$

روش دوم: $x = -\frac{5}{3}y + 10$ و $S(y) = -\frac{5}{3}y^2 + 10y$؛ از $S'(y) = -\frac{10}{3}y + 10 = 0$ نتیجه می‌شود $y = 3$ و با جدول تغییرات مشابه (برای $0 \le y \le 6$)، $x = 5$.

گام ۱: مساحت برحسب یک متغیر. مساحت مستطیل $S = xy$ است. از رابطهٔ داده‌شده $y$ را برحسب $x$ می‌نویسیم:

$$5y = 30 - 3x \Rightarrow y = -\frac{3}{5}x + 6$$ $$S(x) = x\left(-\frac{3}{5}x + 6\right) = -\frac{3}{5}x^2 + 6x$$

گام ۲: دامنهٔ مسئله. طول و عرض منفی نمی‌شوند: $x \ge 0$ و $y = -\frac{3}{5}x + 6 \ge 0$ یعنی $x \le 10$. پس $x \in [0, 10]$.

گام ۳: نقطهٔ بحرانی.

$$S'(x) = -\frac{6}{5}x + 6 = 0 \Rightarrow x = 5$$

گام ۴: جدول تغییرات. برای $x < 5$ مقدار $S'$ مثبت است (مثلاً $S'(0) = 6$) و برای $x > 5$ منفی است (مثلاً $S'(10) = -6$). مقدار $S$ در نقطهٔ بحرانی و دو سر بازه:

$$S(0) = 0 , \qquad S(5) = -\frac{3}{5}(25) + 30 = 15 , \qquad S(10) = -60 + 60 = 0$$

جدول را از بالا به پایین به ترتیب بزرگ شدن $x$ می‌خوانیم:

نتیجه: مساحت در $x = 5$ بیشترین مقدار ($15$) را دارد. عرض مستطیل:

$$y = -\frac{3}{5}(5) + 6 = 3$$

پس ابعاد مستطیل: طول $5$ و عرض $3$.