سوال ۱۴ — سؤال ۱۴ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۴

$$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b , \qquad f'(3) = 0 \rightarrow 6a + b = -27$$ $$f(3) = 2 \rightarrow 9a + 3b = -27 \ \ \text{یا} \ \ 3a + b = -9$$ $$\begin{cases} 6a + b = -27 \\ 3a + b = -9 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} a = -6 \\ b = 9 \end{cases}$$

از اینکه $(3, 2)$ نقطهٔ اکسترمم نسبی است، دو اطلاع به دست می‌آید.

اطلاع ۱: مشتق در این نقطه صفر است. تابع چندجمله‌ای همه‌جا مشتق‌پذیر است و در نقطهٔ اکسترمم نسبیِ یک تابع مشتق‌پذیر، مشتق صفر است:

$$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$$ $$f'(3) = 27 + 6a + b = 0 \Rightarrow 6a + b = -27$$

اطلاع ۲: نقطه روی نمودار است. یعنی $f(3) = 2$:

$$f(3) = 27 + 9a + 3b + 2 = 2 \Rightarrow 9a + 3b = -27 \Rightarrow 3a + b = -9$$

حل دستگاه: معادلهٔ دوم را از اولی کم می‌کنیم:

$$(6a + b) - (3a + b) = -27 - (-9) \Rightarrow 3a = -18 \Rightarrow a = -6$$ $$3(-6) + b = -9 \Rightarrow b = 9$$

بررسی: با این مقدارها $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3)$ است. علامت $f'$ در $x = 3$ از منفی به مثبت عوض می‌شود؛ پس $x = 3$ واقعاً اکسترمم نسبی (مینیمم نسبی) است، و $f(3) = 27 - 54 + 27 + 2 = 2$.