سوال ۱۳ — سؤال ۱۳ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۴

الف)

$$\text{آهنگ تغییر متوسط} = \frac{m(2) - m(0)}{2 - 0} = \frac{7 - 1}{2} = 3$$

ب)

$$\text{آهنگ تغییر لحظه‌ای} = m'(t) = \frac{4}{2\sqrt{4t + 1}} + \frac{3t^2}{2} \rightarrow m'(2) = \frac{2}{3} + 6 = \frac{20}{3}$$

الف) آهنگ تغییر متوسط در بازهٔ $[a, b]$ برابر است با تغییر مقدار تابع تقسیم بر طول بازه. ابتدا جرم را در دو سر بازه حساب می‌کنیم:

$$m(0) = \sqrt{0 + 1} + 0 = 1$$ $$m(2) = \sqrt{8 + 1} + \frac{8}{2} = 3 + 4 = 7$$ $$\frac{m(2) - m(0)}{2 - 0} = \frac{7 - 1}{2} = 3\ \text{گرم بر ساعت}$$

ب) آهنگ رشد در یک لحظه، آهنگ تغییر لحظه‌ای یعنی مشتق $m$ در آن لحظه است. مشتق جملهٔ اول با فرمول $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$ و مشتق جملهٔ دوم با قاعدهٔ توان:

$$m'(t) = \frac{4}{2\sqrt{4t + 1}} + \frac{3t^2}{2}$$

در $t = 2$:

$$m'(2) = \frac{4}{2\sqrt{9}} + \frac{3(4)}{2} = \frac{4}{6} + 6 = \frac{2}{3} + 6 = \frac{20}{3}\ \text{گرم بر ساعت}$$