سوال ۵ — سؤال ۵ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۴

روش اول:

$$y = \sqrt[3]{x - 2} + 5 \rightarrow y - 5 = \sqrt[3]{x - 2} \rightarrow (y - 5)^3 = x - 2$$ $$\rightarrow (y - 5)^3 + 2 = x \rightarrow f^{-1}(x) = (x - 5)^3 + 2$$

روش دوم (اول جای $x$ و $y$ را عوض می‌کنیم):

$$x - 5 = \sqrt[3]{y - 2} \rightarrow (x - 5)^3 = y - 2 \rightarrow y = (x - 5)^3 + 2 \rightarrow f^{-1}(x) = (x - 5)^3 + 2$$

تابع $y = \sqrt[3]{x - 2} + 5$ یک‌به‌یک است (ریشهٔ سوم با بزرگ شدن عدد همیشه بزرگ‌تر می‌شود) و دامنه و بردش همهٔ $\mathbb{R}$ است؛ پس وارون دارد. برای پیدا کردن وارون، $x$ را برحسب $y$ حساب می‌کنیم.

گام ۱: عدد ۵ را به طرف دیگر می‌بریم:

$$y - 5 = \sqrt[3]{x - 2}$$

گام ۲: برای حذف ریشهٔ سوم، دو طرف را به توان ۳ می‌رسانیم:

$$(y - 5)^3 = x - 2$$

گام ۳: $x$ را تنها می‌کنیم:

$$x = (y - 5)^3 + 2$$

گام ۴: در پایان جای $x$ و $y$ را عوض می‌کنیم تا ضابطهٔ وارون برحسب $x$ نوشته شود:

$$f^{-1}(x) = (x - 5)^3 + 2$$

بررسی: ترکیب تابع و وارونش باید خودِ $x$ را بدهد:

$$f\big(f^{-1}(x)\big) = \sqrt[3]{(x - 5)^3 + 2 - 2} + 5 = (x - 5) + 5 = x$$