سؤال ۱ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۴

Question

درستی یا نادرستی عبارت‌های زیر را مشخص کنید.

الف) تابع $y = \sin x$ یکنواست.

ب) خط $x = \pi$ نمودار تابع $y = \tan x$ را قطع می‌کند.

پ) اگر $A$ و $B$ دو پیشامد مستقل باشند، آنگاه همواره رابطهٔ $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ برقرار است.

Accepted Answer

الف) نادرست — ب) درست — پ) نادرست

الف) نادرست. تابعی یکنواست که در کل دامنه‌اش یا فقط صعودی باشد یا فقط نزولی. اما \sin x در بازهٔ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] صعودی و در بازهٔ [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}] نزولی است. مثلاً: 0 < \frac{\pi}{2} < \pi \quad 	ext{ولی} \quad \sin 0 = 0 < \sin\frac{\pi}{2} = 1 > \sin\pi = 0 پس مقدار تابع اول زیاد و بعد کم می‌شود و تابع یکنوا نیست. ب) درست. تانژانت فقط در نقطه‌هایی تعریف نشده است که کسینوس صفر شود، یعنی در x = k\pi + \frac{\pi}{2} (مجانب‌های قائم). عدد \pi از این نقطه‌ها نیست و: 	an\pi = \frac{\sin\pi}{\cos\pi} = \frac{0}{-1} = 0 پس خط x = \pi نمودار را در نقطهٔ (\pi, 0) قطع می‌کند. پ) نادرست. برای هر دو پیشامد داریم: P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) رابطهٔ P(A \cup B) = P(A) + P(B) فقط وقتی درست است که P(A \cap B) = 0 باشد؛ یعنی برای دو پیشامد ناسازگار. اما برای دو پیشامد مستقل داریم P(A \cap B) = P(A)\,P(B) که معمولاً صفر نیست. مثلاً اگر یک سکه را دو بار پرتاب کنیم و A «رو آمدن بار اول» و B «رو آمدن بار دوم» باشد، این دو پیشامد مستقل‌اند، ولی: P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} 
e P(A) + P(B) = 1

سوال ۱ — سؤال ۱ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۴

راه‌حل قدم‌به‌قدم

نظرت دربارهٔ این سؤال چیه؟