سوال ۱۷ — سؤال ۱۷ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۴

روش اول:

$$OH = \frac{|3(1) + 4(2) + 4|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{15}{5} = 3 , \qquad AH = 4 \rightarrow r = 5$$ $$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25 \rightarrow x^2 + y^2 - 2x - 4y - 20 = 0$$

روش دوم: با $OH = 3$ و $AH = 4$ داریم $r = 5$، و در معادلهٔ $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$:

$$-\frac{a}{2} = 1 \rightarrow a = -2 , \qquad -\frac{b}{2} = 2 \rightarrow b = -4 , \qquad r = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2 - 4c} \rightarrow c = -20$$ $$x^2 + y^2 - 2x - 4y - 20 = 0$$

برای نوشتن معادلهٔ دایره، مرکز را داریم و فقط شعاع را لازم داریم. از مرکز $O$ عمود $OH$ را بر وتر رسم می‌کنیم. $A$ یکی از دو سر وتر است:

گام ۱: فاصلهٔ مرکز تا خط. طول عمود $OH$ همان فاصلهٔ نقطهٔ $O(1, 2)$ از خط $3x + 4y + 4 = 0$ است:

$$OH = \frac{|3(1) + 4(2) + 4|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|15|}{5} = 3$$

گام ۲: نصف وتر. عمودی که از مرکز دایره بر یک وتر رسم شود، وتر را نصف می‌کند؛ پس:

$$AH = \frac{8}{2} = 4$$

گام ۳: شعاع. مثلث $OHA$ در $H$ قائم‌الزاویه است و وتر آن، $OA$، شعاع دایره است. طبق رابطهٔ فیثاغورس:

$$r^2 = OH^2 + AH^2 = 9 + 16 = 25 \Rightarrow r = 5$$

گام ۴: معادلهٔ دایره. معادلهٔ استاندارد دایره به مرکز $(1, 2)$ و شعاع ۵:

$$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25$$

پرانتزها را باز می‌کنیم تا معادلهٔ گسترده به دست آید:

$$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = 25 \Rightarrow x^2 + y^2 - 2x - 4y - 20 = 0$$