سوال ۱۶ — سؤال ۱۶ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۴

روش اول:

$$AA' = 8 = 2a \rightarrow a = 4 , \qquad BB' = 4 = 2b \rightarrow b = 2$$ $$c = \sqrt{a^2 - b^2} \rightarrow c = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \rightarrow e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{12}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

روش دوم:

$$e = \frac{c}{a} = \sqrt{\frac{a^2 - b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{4}{16}} = \frac{\sqrt{12}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

گام ۱: طول قطر بزرگ. دو سر قطر بزرگ، $A'(-1, 2)$ و $A(7, 2)$، عرض یکسان دارند؛ پس فاصلهٔ آن‌ها تفاضل طول‌هاست:

$$AA' = 7 - (-1) = 8$$

طول قطر بزرگ $2a$ است:

$$2a = 8 \Rightarrow a = 4$$

گام ۲: طول قطر کوچک. طول قطر کوچک $2b$ است:

$$2b = 4 \Rightarrow b = 2$$

گام ۳: فاصلهٔ کانونی. در بیضی $a^2 = b^2 + c^2$:

$$c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$$

گام ۴: خروج از مرکز.

$$e = \frac{c}{a} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

این عدد بین ۰ و ۱ است، همان‌طور که خروج از مرکز هر بیضی باید باشد.