سوال ۸ — سؤال ۸ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۴

روش اول:

$$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1 \rightarrow \cos\left(2 \times \frac{\pi}{12}\right) = 2\cos^2\frac{\pi}{12} - 1 \rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\cos^2\frac{\pi}{12} - 1$$ $$\cos^2\frac{\pi}{12} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} + 1}{2} = \frac{\sqrt{3} + 2}{4} \rightarrow \cos\frac{\pi}{12} = \sqrt{\frac{\frac{\sqrt{3}}{2} + 1}{2}} = \frac{\sqrt{\sqrt{3} + 2}}{2}$$

روش دوم:

$$\cos^2 x = \frac{\cos 2x + 1}{2} \rightarrow \cos^2\frac{\pi}{12} = \frac{\cos\left(2 \times \frac{\pi}{12}\right) + 1}{2} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} + 1}{2} = \frac{\sqrt{3} + 2}{4} \rightarrow \cos\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{\sqrt{3} + 2}}{2}$$

زاویهٔ $\frac{\pi}{12}$ (یعنی ۱۵ درجه) نصفِ زاویهٔ آشنای $\frac{\pi}{6}$ (۳۰ درجه) است و $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ را می‌دانیم. پس از فرمول کسینوس دو برابر کمان استفاده می‌کنیم.

گام ۱: فرمول.

$$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$$

گام ۲: جایگذاری $x = \frac{\pi}{12}$. در این صورت $2x = \frac{\pi}{6}$ است:

$$\frac{\sqrt{3}}{2} = 2\cos^2\frac{\pi}{12} - 1$$

گام ۳: پیدا کردن $\cos^2\frac{\pi}{12}$.

$$2\cos^2\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \Rightarrow \cos^2\frac{\pi}{12} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} + 1}{2} = \frac{\sqrt{3} + 2}{4}$$

گام ۴: جذر گرفتن. زاویهٔ $\frac{\pi}{12}$ در ربع اول است و کسینوس آن مثبت است؛ پس فقط ریشهٔ مثبت را برمی‌داریم:

$$\cos\frac{\pi}{12} = \sqrt{\frac{\sqrt{3} + 2}{4}} = \frac{\sqrt{\sqrt{3} + 2}}{2}$$