سوال ۱۱ — سؤال ۱۱ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۴۰۴

روش اول:

$$f'_+(1) = \lim_{x \to 1^+} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{3x^2 + 1 - 4}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{3(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = 6$$ $$f'_-(1) = \lim_{x \to 1^-} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^-} \frac{6x - 2 - 4}{x - 1} = \lim_{x \to 1^-} \frac{6(x - 1)}{x - 1} = 6$$

بنابراین تابع در $x = 1$ مشتق‌پذیر است.

روش دوم:

$$f'_+(1) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{3(1 + h)^2 + [1 + h] - 4}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h(3h + 6)}{h} = 6$$ $$f'_-(1) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{6(1 + h) - 2 - 4}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{6h}{h} = 6$$

بنابراین تابع در $x = 1$ مشتق‌پذیر است.

تابع در $x = 1$ مشتق‌پذیر است اگر مشتق راست و مشتق چپ آن در این نقطه وجود داشته باشند و با هم برابر باشند.

گام ۱: مقدار $f(1)$. عدد ۱ در ضابطهٔ پایینی ($x \le 1$) است:

$$f(1) = 6(1) - 2 = 4$$

گام ۲: مشتق راست. برای $x$های کمی بزرگ‌تر از ۱ (بین ۱ و ۲) داریم $[x] = 1$؛ پس $f(x) = 3x^2 + 1$:

$$f'_+(1) = \lim_{x \to 1^+} \frac{3x^2 + 1 - 4}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{3(x^2 - 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{3(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} 3(x + 1) = 6$$

گام ۳: مشتق چپ. برای $x$های کمی کوچک‌تر از ۱ ضابطهٔ پایینی به کار می‌رود:

$$f'_-(1) = \lim_{x \to 1^-} \frac{6x - 2 - 4}{x - 1} = \lim_{x \to 1^-} \frac{6(x - 1)}{x - 1} = 6$$

نتیجه: مشتق راست و چپ هر دو برابر ۶ هستند؛ پس تابع در $x = 1$ مشتق‌پذیر است و $f'(1) = 6$.