سوال ۹ — سؤال ۹ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۴

$$f'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 + 1 - 5}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = 4$$

یا:

$$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{f(2 + h) - f(2)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{4 + 4h + h^2 + 1 - 5}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h(4 + h)}{h} = 4$$

طبق تعریف، مشتق تابع در نقطهٔ $a$ حدِ «آهنگ تغییر متوسط» وقتی بازه به صفر میل می‌کند است:

$$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$$

گام ۱: مقدار تابع در ۲.

$$f(2) = 2^2 + 1 = 5$$

گام ۲: نوشتن حد.

$$f'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{(x^2 + 1) - 5}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$$

با جای‌گذاری، حالت $\frac{0}{0}$ پیش می‌آید؛ پس صورت را تجزیه می‌کنیم:

$$\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x + 2 \qquad (x \ne 2)$$

گام ۳: محاسبهٔ حد.

$$f'(2) = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4$$

راه دیگر (با $h$): با $x = 2 + h$:

$$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{(2 + h)^2 + 1 - 5}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{4h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (4 + h) = 4$$

(می‌توان اول $f'(x)$ را با تعریف پیدا کرد: $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x + h)^2 + 1 - x^2 - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} = 2x$، و بعد $f'(2) = 2 \times 2 = 4$.)