سوال ۴ — سؤال ۴ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۴

$$f(g(x)) = 3\sqrt{g(x)} + 2$$ $$3x^2 - 4 = 3\sqrt{g(x)} + 2 \Rightarrow \sqrt{g(x)} = x^2 - 2 \Rightarrow g(x) = (x^2 - 2)^2 , \quad |x| \ge \sqrt{2}$$

گام ۱: ضابطهٔ $f(g(x))$ بر حسب $g$. در ضابطهٔ $f$ به جای $x$، عبارت $g(x)$ را می‌گذاریم:

$$f(g(x)) = 3\sqrt{g(x)} + 2$$

گام ۲: برابر قرار دادن با ضابطهٔ داده‌شده.

$$3\sqrt{g(x)} + 2 = 3x^2 - 4 \Rightarrow 3\sqrt{g(x)} = 3x^2 - 6 \Rightarrow \sqrt{g(x)} = x^2 - 2$$

گام ۳: شرط و ضابطهٔ $g$. رادیکال با فرجهٔ زوج همیشه نامنفی است؛ پس باید سمت راست هم نامنفی باشد:

$$x^2 - 2 \ge 0 \Rightarrow x^2 \ge 2 \Rightarrow |x| \ge \sqrt{2}$$

با این شرط، دو طرف را به توان ۲ می‌رسانیم:

$$g(x) = (x^2 - 2)^2 , \qquad |x| \ge \sqrt{2}$$

بررسی: برای مثال در $x = 2$ داریم $g(2) = (4 - 2)^2 = 4$ و $f(4) = 3\sqrt{4} + 2 = 8$؛ از طرف دیگر $3(2)^2 - 4 = 8$. درست است.