سوال ۱۲ — سؤال ۱۲ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۴

الف) ۴ نقطه

ب) خیر، زیرا در $x = 6$ مشتق چپ ندارد (پیوستگی چپ ندارد).

یادآوری: تابع در نقطه‌ای که پیوسته نیست مشتق‌پذیر نیست، و در نقطه‌ای که پیوسته است ولی نمودارش گوشهٔ تیز دارد (شیب چپ و راست برابر نیست) هم مشتق‌پذیر نیست.

الف) دامنهٔ تابع بازهٔ $(1, 9)$ است (دو سر نمودار توخالی‌اند). نقطه‌ها را از چپ به راست بررسی می‌کنیم:

• $x = 2$: نمودار در این نقطه یک کمینهٔ هموار دارد و مماس افقی است؛ مشتق‌پذیر است ($f'(2) = 0$).
• $x = 3$: تابع پیوسته است ولی نمودار گوشهٔ تیز دارد (از چپ رو به بالا و از راست رو به پایین)؛ مشتق‌ناپذیر.
• $x = 4$: $f(4) = 2.5$ ولی نمودار از سمت چپ به ۳ نزدیک می‌شود؛ تابع ناپیوسته است؛ مشتق‌ناپذیر.
• $x = 6$: $f(6) = 2$ ولی نمودار از سمت چپ به $2.5$ نزدیک می‌شود؛ ناپیوسته است؛ مشتق‌ناپذیر.
• $x = 7$: تابع پیوسته است ولی دو پاره‌خط با شیب‌های $-2$ و $3$ به هم رسیده‌اند و گوشهٔ تیز ساخته‌اند؛ مشتق‌ناپذیر.

پس تابع در ۴ نقطه ($x = 3, 4, 6, 7$) مشتق‌ناپذیر است.

ب) تابع روی بازهٔ بستهٔ $[a, b]$ مشتق‌پذیر است هرگاه در همهٔ نقطه‌های درون بازه مشتق‌پذیر باشد، در $a$ مشتق راست و در $b$ مشتق چپ داشته باشد.

• درون بازه، $(4, 6)$، نمودار یک پارهٔ افقی است؛ مشتق همه‌جا صفر است.
• در $x = 4$، مقدار تابع $2.5$ است و نمودار از راست روی همان پارهٔ افقی ادامه دارد؛ پس مشتق راست وجود دارد (برابر صفر).
• در $x = 6$، مقدار تابع $2$ است ولی نمودار از چپ به $2.5$ نزدیک می‌شود؛ یعنی تابع در ۶ پیوستگی چپ ندارد و در نتیجه مشتق چپ هم ندارد.

پس تابع روی $[4, 6]$ مشتق‌پذیر نیست.