سوال ۱ — سؤال ۱ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۴

الف) نادرست — ب) درست — پ) درست

الف) نادرست. شرط $A \cap B = \varnothing$ یعنی دو پیشامد با هم رخ نمی‌دهند؛ به چنین پیشامدهایی ناسازگار می‌گوییم، نه مستقل. دو پیشامد وقتی مستقل‌اند که وقوع یکی بر احتمال دیگری اثر نگذارد:

اگر $A$ و $B$ ناسازگار باشند و احتمال هر دو مخالف صفر باشد، سمت چپ صفر است ولی سمت راست مثبت است؛ پس مستقل نیستند. مثلاً در پرتاب یک تاس، اگر $A$ «آمدن ۱» و $B$ «آمدن ۲» باشد، $A \cap B = \varnothing$ است ولی $P(A \cap B) = 0 \ne \frac{1}{6} \times \frac{1}{6}$. در واقع وقوع $A$ به ما می‌گوید که $B$ قطعاً رخ نداده است.

ب) درست. خروج از مرکز بیضی $e = \frac{c}{a}$ است. وقتی $e$ به صفر نزدیک شود، $c$ (فاصلهٔ کانون تا مرکز) در مقایسه با $a$ خیلی کوچک می‌شود؛ یعنی دو کانون به مرکز نزدیک می‌شوند و $b = \sqrt{a^2 - c^2}$ تقریباً برابر $a$ می‌شود. بیضی‌ای که دو قطرش تقریباً برابرند، شبیه دایره است.

پ) درست. در نمودار $y = 3f(x)$، طول هر نقطه ثابت می‌ماند و عرض آن ۳ برابر می‌شود؛ یعنی نقطهٔ $(x, y)$ از نمودار $f$ به نقطهٔ $(x, 3y)$ می‌رود. این یعنی نمودار در راستای محور $y$ها با ضریب ۳ منبسط (کشیده) می‌شود.