سوال ۱۰ — سؤال ۱۰ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۴

الف)

$$f'(x) = (3x^2 + 6)\left(\sqrt[3]{x}\right) + \left(\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\right)(x^3 + 6x)$$

ب)

$$g'(x) = \frac{(2)(5x^2 + 4) - (10x)(2x + 3)}{(5x^2 + 4)^2}$$

الف) تابع $f$ حاصل‌ضرب دو تابع است: $u = x^3 + 6x$ و $v = \sqrt[3]{x}$. قاعدهٔ مشتق ضرب:

$$(uv)' = u'v + uv'$$

مشتق هر کدام:

$$u' = 3x^2 + 6$$ $$v = \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}} \Rightarrow v' = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$$

در قاعده جای‌گذاری می‌کنیم:

$$f'(x) = (3x^2 + 6)\sqrt[3]{x} + \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}(x^3 + 6x)$$

ب) تابع $g$ خارج‌قسمت دو تابع است: صورت $p = 2x + 3$ و مخرج $q = 5x^2 + 4$. قاعدهٔ مشتق خارج‌قسمت:

$$\left(\frac{p}{q}\right)' = \frac{p'q - pq'}{q^2}$$

با $p' = 2$ و $q' = 10x$:

$$g'(x) = \frac{(2)(5x^2 + 4) - (10x)(2x + 3)}{(5x^2 + 4)^2}$$

(اگر بخواهیم ساده کنیم، صورت برابر $10x^2 + 8 - 20x^2 - 30x = -10x^2 - 30x + 8$ می‌شود؛ ولی سؤال ساده کردن را لازم ندانسته است.)