سوال ۷ — سؤال ۷ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۴

$$2\sin x\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \sin(2x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \sin(2x) = \sin\frac{\pi}{4}$$ $$\begin{cases} 2x = 2k\pi + \frac{\pi}{4} \\ 2x = (2k + 1)\pi - \frac{\pi}{4} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = k\pi + \frac{\pi}{8} \\ x = \frac{(2k + 1)\pi}{2} - \frac{\pi}{8} \end{cases} \qquad k \in \mathbb{Z}$$

دستهٔ دوم را می‌توان به صورت $x = k\pi + \frac{3\pi}{8}$ هم نوشت.

گام ۱: تبدیل به سینوس دو برابر کمان. اتحاد $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ را به کار می‌بریم. دو طرف معادله را در ۲ ضرب می‌کنیم:

$$2\sin x\cos x = 2 \times \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \sin(2x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

گام ۲: پیدا کردن یک کمان معلوم. می‌دانیم $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$؛ پس:

$$\sin(2x) = \sin\frac{\pi}{4}$$

گام ۳: جواب کلی. جواب کلی معادلهٔ $\sin u = \sin\alpha$ این دو دسته است:

$$u = 2k\pi + \alpha \quad \text{یا} \quad u = 2k\pi + \pi - \alpha = (2k + 1)\pi - \alpha , \qquad k \in \mathbb{Z}$$

با $u = 2x$ و $\alpha = \frac{\pi}{4}$:

$$2x = 2k\pi + \frac{\pi}{4} \Rightarrow x = k\pi + \frac{\pi}{8}$$ $$2x = (2k + 1)\pi - \frac{\pi}{4} \Rightarrow x = \frac{(2k + 1)\pi}{2} - \frac{\pi}{8}$$

ساده کردن دستهٔ دوم:

$$\frac{(2k + 1)\pi}{2} - \frac{\pi}{8} = k\pi + \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8} = k\pi + \frac{3\pi}{8}$$

پس جواب‌های کلی $x = k\pi + \frac{\pi}{8}$ و $x = k\pi + \frac{3\pi}{8}$ ($k \in \mathbb{Z}$) هستند.

بررسی: برای $x = \frac{\pi}{8}$ داریم $\sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$. درست است.