سوال ۱۴ — سؤال ۱۴ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۴

$$f'(x) = 3x^2 - 12 = 0 \Rightarrow x = \pm 2$$

الف) $[-2, 2]$ (یا: $f'(x) = 3x^2 - 12 \le 0 \Rightarrow |x| \le 2 \Rightarrow -2 \le x \le 2$)

ب) با توجه به جدول تغییرات، طول نقطهٔ ماکزیمم نسبی $x = -2$ است.

گام ۱: مشتق و نقطه‌های بحرانی.

$$f'(x) = 3x^2 - 12 = 3(x^2 - 4) = 3(x - 2)(x + 2)$$ $$f'(x) = 0 \Rightarrow x = -2 \ \ \text{یا} \ \ x = 2$$

گام ۲: علامت $f'$. $f'$ عبارتی درجهٔ دوم با ضریب $x^2$ مثبت است؛ پس بیرونِ دو ریشه مثبت و بین دو ریشه منفی است (مثلاً $f'(0) = -12 < 0$).

گام ۳: جدول تغییرات. هر جا $f'$ مثبت است تابع صعودی و هر جا منفی است تابع نزولی است. جدول را از بالا به پایین به ترتیب بزرگ شدن $x$ می‌خوانیم:

الف) مشتق در بازهٔ $(-2, 2)$ منفی است و فقط در دو سر آن صفر می‌شود؛ پس تابع در کل بازهٔ بستهٔ $[-2, 2]$ اکیداً نزولی است. بیرون از این بازه تابع صعودی است، پس بزرگ‌ترین بازهٔ نزولی اکید همین است:

$$[-2, 2]$$

(با نامعادله هم می‌شود: $3x^2 - 12 \le 0 \Rightarrow x^2 \le 4 \Rightarrow |x| \le 2 \Rightarrow -2 \le x \le 2$.)

ب) در $x = -2$ علامت $f'$ از مثبت به منفی عوض می‌شود؛ یعنی تابع تا این نقطه بالا می‌رود و بعد از آن پایین می‌آید. پس طول نقطهٔ ماکزیمم نسبی $x = -2$ است. (در $x = 2$ علامت از منفی به مثبت عوض می‌شود و آنجا مینیمم نسبی است.)