سوال ۱۵ — سؤال ۱۵ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۴

$$x + 2y = 100 \Rightarrow x = 100 - 2y$$ $$S = x \cdot y = (100 - 2y)\,y = 100y - 2y^2$$ $$S'(y) = 100 - 4y = 0 \Rightarrow y = 25$$ $$S_{\max} = 50 \times 25 = 1250$$

گام ۱: رابطهٔ طول نرده. ضلع کنار رودخانه نرده نمی‌خواهد؛ پس نرده فقط برای یک ضلع $x$ و دو ضلع $y$ لازم است:

$$x + 2y = 100 \Rightarrow x = 100 - 2y$$

گام ۲: تابع مساحت بر حسب یک متغیر.

$$S = x \cdot y = (100 - 2y)\,y = 100y - 2y^2$$

طول‌ها منفی نمی‌شوند: $y \ge 0$ و $x = 100 - 2y \ge 0$؛ پس $0 \le y \le 50$.

گام ۳: نقطهٔ بحرانی.

$$S'(y) = 100 - 4y = 0 \Rightarrow y = 25$$

گام ۴: جدول تغییرات. برای $y < 25$ مشتق مثبت است (مثلاً $S'(0) = 100$) و برای $y > 25$ منفی است (مثلاً $S'(50) = -100$). جدول را از بالا به پایین به ترتیب بزرگ شدن $y$ می‌خوانیم:

گام ۵: بیشترین مساحت. مساحت تا $y = 25$ زیاد و بعد از آن کم می‌شود؛ پس بیشترین مقدار در $y = 25$ است. در این حالت $x = 100 - 50 = 50$:

$$S_{\max} = x \cdot y = 50 \times 25 = 1250\ \mathrm{m^2}$$

راه دیگر (بر حسب $x$): از $x + 2y = 100$ داریم $y = \frac{100 - x}{2}$ و:

$$S = x \cdot \frac{100 - x}{2} = \frac{100x - x^2}{2} \Rightarrow S'(x) = \frac{100 - 2x}{2} = 0 \Rightarrow x = 50$$

مشتق قبل از ۵۰ مثبت و بعد از آن منفی است؛ پس باز هم $S_{\max} = 50 \times 25 = 1250$ متر مربع.