سوال ۵ — سؤال ۵ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۴

الف)

$$D_{f^{-1} o f} = \{x \in D_f \mid f(x) \in D_{f^{-1}}\} = \{x \in D_f \mid f(x) \in R_f\} = D_f = [2, +\infty)$$

ب)

$$f^{-1}(x) = x^2 + 2 \Rightarrow f^{-1}(5) = 27$$

یا: $f^{-1}(5) = x \Rightarrow f(x) = 5 \Rightarrow \sqrt{x - 2} = 5 \Rightarrow x = 27$

الف) دامنهٔ ترکیب $f^{-1} o f$ شامل عددهایی از دامنهٔ $f$ است که $f(x)$ آن‌ها در دامنهٔ $f^{-1}$ باشد:

$$D_{f^{-1} o f} = \{x \in D_f \mid f(x) \in D_{f^{-1}}\}$$

دامنهٔ وارون هر تابع، همان برد خود تابع است: $D_{f^{-1}} = R_f$. هر مقدار $f(x)$ هم قطعاً در برد $f$ است؛ پس این شرط برای همهٔ $x$های دامنهٔ $f$ برقرار است و دامنهٔ ترکیب همان دامنهٔ $f$ می‌شود. زیر رادیکال باید نامنفی باشد:

$$x - 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2 \Rightarrow D_{f^{-1} o f} = D_f = [2, +\infty)$$

ب) روش اول (پیدا کردن ضابطهٔ وارون). قرار می‌دهیم $y = \sqrt{x - 2}$ که در آن $y \ge 0$ است، و $x$ را بر حسب $y$ پیدا می‌کنیم:

$$y^2 = x - 2 \Rightarrow x = y^2 + 2 \Rightarrow f^{-1}(x) = x^2 + 2 , \quad x \ge 0$$ $$f^{-1}(5) = 5^2 + 2 = 27$$

روش دوم (بدون ضابطهٔ وارون). $f^{-1}(5)$ عددی است که $f$ آن را به ۵ می‌برد:

$$f(x) = 5 \Rightarrow \sqrt{x - 2} = 5 \Rightarrow x - 2 = 25 \Rightarrow x = 27$$

پس $f^{-1}(5) = 27$.