سوال ۶ — سؤال ۶ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۴

با توجه به نمودار، تابع کسینوسی است.

$$|a| + 2 = 4 \Rightarrow |a| = 2 \xrightarrow{a < 0} a = -2$$ $$T = \frac{2\pi}{|b|} = 6\pi \Rightarrow b = \pm\frac{1}{3}$$ $$f(x) = -2\cos\left(\frac{x}{3}\right) + 2$$

یا: $f(0) = 0 \Rightarrow a\cos 0 + 2 = 0 \Rightarrow a = -2$ و $f(6\pi) = 0 \Rightarrow -2\cos(6\pi b) + 2 = 0 \Rightarrow 6\pi b = 2k\pi \Rightarrow b = \frac{k}{3}$ ($k \in \mathbb{Z}$)، که با $T = 6\pi$ نتیجه می‌دهد $b = \pm\frac{1}{3}$.

گام ۱: سینوسی یا کسینوسی؟ نمودار در $x = 0$ از نقطهٔ $(0, 0)$ می‌گذرد. اگر ضابطه سینوسی بود، در $x = 0$ داشتیم:

$$f(0) = a\sin 0 + 2 = 2 \ne 0$$

پس ضابطهٔ سینوسی ممکن نیست و تابع به شکل $f(x) = a\cos(bx) + 2$ است.

گام ۲: مقدار $|a|$. بیشترین مقدار $a\cos(bx) + 2$ برابر $|a| + 2$ و کمترین مقدار آن $-|a| + 2$ است. از روی نمودار بیشینه ۴ است:

$$|a| + 2 = 4 \Rightarrow |a| = 2$$

(کمینه هم $-2 + 2 = 0$ می‌شود که با نمودار می‌خواند.)

گام ۳: علامت $a$. $\cos 0 = 1$ بیشترین مقدار کسینوس است؛ پس اگر $a$ مثبت بود، تابع در $x = 0$ بیشینه داشت. اما نمودار در $x = 0$ کمینه دارد؛ پس $a$ منفی است:

$$f(0) = a + 2 = 0 \Rightarrow a = -2$$

گام ۴: مقدار $b$. تابع در $x = 0$ و بعد در $x = 6\pi$ کمینه دارد و بین این دو فقط یک بیشینه هست؛ پس یک دورهٔ کامل از ۰ تا $6\pi$ است:

$$T = 6\pi \Rightarrow \frac{2\pi}{|b|} = 6\pi \Rightarrow |b| = \frac{1}{3} \Rightarrow b = \pm\frac{1}{3}$$

چون کسینوس تابعی زوج است، $\cos\left(-\frac{x}{3}\right) = \cos\left(\frac{x}{3}\right)$ و هر دو علامت $b$ یک تابع را می‌سازند.

نتیجه:

$$f(x) = -2\cos\left(\frac{x}{3}\right) + 2$$

بررسی: $f(3\pi) = -2\cos\pi + 2 = 2 + 2 = 4$ (بیشینه) و $f(6\pi) = -2\cos 2\pi + 2 = 0$ (کمینه)؛ با نمودار می‌خواند.