سوال ۱۷ — سؤال ۱۷ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۴

$$r = \frac{|4 + 6 - 25|}{\sqrt{16 + 9}} = 3$$ $$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9$$

وقتی خطی بر دایره مماس است، فاصلهٔ مرکز دایره از آن خط برابر شعاع دایره است. فاصلهٔ نقطهٔ $(x_0, y_0)$ از خط $ax + by + c = 0$ از این رابطه به دست می‌آید:

$$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

گام ۱: شعاع. معادلهٔ خط را به صورت $4x - 3y - 25 = 0$ می‌نویسیم و فاصلهٔ مرکز $(1, -2)$ را از آن حساب می‌کنیم:

$$r = \frac{|4(1) - 3(-2) - 25|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|4 + 6 - 25|}{\sqrt{25}} = \frac{15}{5} = 3$$

گام ۲: معادلهٔ دایره. معادلهٔ دایره با مرکز $(h, k)$ و شعاع $r$ به صورت $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ است:

$$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9$$

(به صورت گسترده: $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 4 = 0$.)

راه دیگر: خط عمود بر مماس که از مرکز می‌گذرد، $3x + 4y = -5$ است. نقطهٔ برخورد آن با $4x - 3y = 25$ نقطهٔ تماس است:

$$\begin{cases} 4x - 3y = 25 \\ 3x + 4y = -5 \end{cases} \Rightarrow 25x = 85 \Rightarrow x = 3.4 , \quad y = -3.8$$

فاصلهٔ مرکز تا این نقطه همان شعاع است:

$$r = \sqrt{(3.4 - 1)^2 + (-3.8 + 2)^2} = \sqrt{2.4^2 + 1.8^2} = \sqrt{9} = 3$$