سوال ۱۸ — سؤال ۱۸ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۴

اگر پیشامد سالم بودن را $A$، جعبهٔ اول را $B_1$ و جعبهٔ دوم را $B_2$ در نظر بگیریم:

$$P(A) = P(B_1)P(A \mid B_1) + P(B_2)P(A \mid B_2)$$ $$P(A) = \frac{1}{2} \times \frac{6}{10} + \frac{1}{2} \times \frac{15}{20} = \frac{6}{20} + \frac{15}{40} = \frac{27}{40} = 0.675$$

آزمایش دو مرحله دارد: اول یک جعبه انتخاب می‌شود و بعد یک لامپ از همان جعبه. احتمال سالم بودن لامپ به جعبهٔ انتخاب‌شده بستگی دارد؛ پس از قانون احتمال کل استفاده می‌کنیم.

نام‌گذاری: $A$ = «لامپ سالم باشد»، $B_1$ = «جعبهٔ اول انتخاب شود»، $B_2$ = «جعبهٔ دوم انتخاب شود».

گام ۱: احتمال انتخاب هر جعبه. جعبه‌ها یکسان‌اند و به تصادف انتخاب می‌شوند:

$$P(B_1) = P(B_2) = \frac{1}{2}$$

گام ۲: احتمال سالم بودن در هر جعبه.

• جعبهٔ اول: ۱۰ لامپ که ۴ تا معیوب است؛ پس ۶ لامپ سالم دارد: $P(A \mid B_1) = \frac{6}{10}$
• جعبهٔ دوم: ۲۰ لامپ که ۵ تا معیوب است؛ پس ۱۵ لامپ سالم دارد: $P(A \mid B_2) = \frac{15}{20}$

گام ۳: قانون احتمال کل.

$$P(A) = P(B_1)P(A \mid B_1) + P(B_2)P(A \mid B_2) = \frac{1}{2} \times \frac{6}{10} + \frac{1}{2} \times \frac{15}{20}$$ $$P(A) = \frac{6}{20} + \frac{15}{40} = \frac{12}{40} + \frac{15}{40} = \frac{27}{40} = 0.675$$

راه دیگر (با متمم): احتمال معیوب بودن لامپ را حساب می‌کنیم و از ۱ کم می‌کنیم:

$$P(A') = \frac{1}{2} \times \frac{4}{10} + \frac{1}{2} \times \frac{5}{20} = \frac{4}{20} + \frac{5}{40} = \frac{13}{40} \Rightarrow P(A) = 1 - \frac{13}{40} = \frac{27}{40}$$