سوال ۱۶ — سؤال ۱۶ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۴

$$2c = 3 - (-5) = 8 \Rightarrow c = 4 , \quad a = 5$$ $$a^2 = b^2 + c^2 \Rightarrow 25 = b^2 + 16 \Rightarrow b = 3 \Rightarrow 2b = 6$$

گام ۱: فاصلهٔ کانونی. دو کانون $F(1, 3)$ و $F'(1, -5)$ طول برابر دارند؛ پس روی یک خط قائم‌اند و فاصلهٔ آن‌ها برابر اختلاف عرض‌هاست. این فاصله $2c$ است:

$$2c = FF' = \sqrt{(1 - 1)^2 + (3 + 5)^2} = 8 \Rightarrow c = 4$$

گام ۲: رابطهٔ $a$، $b$ و $c$. در بیضی، نصف قطر بزرگ $a$، نصف قطر کوچک $b$ و نصف فاصلهٔ کانونی $c$ در این رابطه صدق می‌کنند:

$$a^2 = b^2 + c^2$$

با $a = 5$ و $c = 4$:

$$25 = b^2 + 16 \Rightarrow b^2 = 9 \Rightarrow b = 3$$

گام ۳: قطر کوچک. طول قطر کوچک دو برابر $b$ است:

$$2b = 2 \times 3 = 6$$