سوال ۸ — سؤال ۸ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۴

الف)

$$\lim_{x \to 8} \frac{x - 8}{\sqrt[3]{x} - 2} \times \frac{\sqrt[3]{x^2} + 2\sqrt[3]{x} + 4}{\sqrt[3]{x^2} + 2\sqrt[3]{x} + 4} = \lim_{x \to 8} \frac{(x - 8)(\sqrt[3]{x^2} + 2\sqrt[3]{x} + 4)}{x - 8} = \lim_{x \to 8} (\sqrt[3]{x^2} + 2\sqrt[3]{x} + 4) = 12$$

ب)

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^5 + 4}{x^3 + x^5} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^5}{x^5} = 2$$

پ)

$$\lim_{x \to 4^-} \frac{[x] - 4}{4 - x} = \lim_{x \to 4^-} \frac{-1}{4 - x} = -\infty$$

الف) با جای‌گذاری $x = 8$، صورت $8 - 8 = 0$ و مخرج $\sqrt[3]{8} - 2 = 0$ می‌شود؛ حالت مبهم $\frac{0}{0}$ داریم.

مخرج را با اتحاد چاق و لاغر گویا می‌کنیم. با $a = \sqrt[3]{x}$ و $b = 2$:

$$(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3 \Rightarrow (\sqrt[3]{x} - 2)(\sqrt[3]{x^2} + 2\sqrt[3]{x} + 4) = x - 8$$

پس صورت و مخرج را در $\sqrt[3]{x^2} + 2\sqrt[3]{x} + 4$ ضرب می‌کنیم:

$$\lim_{x \to 8} \frac{(x - 8)(\sqrt[3]{x^2} + 2\sqrt[3]{x} + 4)}{x - 8} = \lim_{x \to 8} (\sqrt[3]{x^2} + 2\sqrt[3]{x} + 4)$$

حالا جای‌گذاری می‌کنیم؛ $\sqrt[3]{64} = 4$ و $\sqrt[3]{8} = 2$:

$$4 + 2(2) + 4 = 12$$

راه دیگر: با تغییر متغیر $\sqrt[3]{x} = t$ داریم $x = t^3$ و وقتی $x \to 8$، $t \to 2$:

$$\lim_{t \to 2} \frac{t^3 - 8}{t - 2} = \lim_{t \to 2} \frac{(t - 2)(t^2 + 2t + 4)}{t - 2} = 4 + 4 + 4 = 12$$

ب) در حد بی‌نهایتِ یک کسر گویا، در صورت و مخرج فقط جملهٔ با بزرگ‌ترین توان مهم است (بقیه در مقایسه با آن ناچیزند). بزرگ‌ترین توان در صورت $2x^5$ و در مخرج $x^5$ است:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^5 + 4}{x^3 + x^5} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^5}{x^5} = 2$$

یا با فاکتور گرفتن از $x^5$:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^5\left(2 + \frac{4}{x^5}\right)}{x^5\left(\frac{1}{x^2} + 1\right)} = \frac{2 + 0}{0 + 1} = 2$$

پ) وقتی $x$ از سمت چپ به ۴ نزدیک می‌شود (مثلاً $x = 3.9$ یا $3.99$)، $x$ بین ۳ و ۴ است؛ پس $[x] = 3$ و صورت برابر $3 - 4 = -1$ است.

مخرج $4 - x$ به صفر نزدیک می‌شود و چون $x < 4$، مقدار آن مثبت است ($0^+$):

$$\lim_{x \to 4^-} \frac{[x] - 4}{4 - x} = \lim_{x \to 4^-} \frac{-1}{4 - x} = \frac{-1}{0^+} = -\infty$$