سوال ۱۱ — سؤال ۱۱ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۴۰۴

$$\lim_{x \to 5} \frac{f(x) - f(5)}{x - 5} = f'(5) = 4$$ $$h'(2) = g'(2)\,f'(g(2)) = 3 \times f'(5) = 12$$

گام ۱: معنی حد داده‌شده. طبق تعریف مشتق، این حد همان مشتق $f$ در نقطهٔ ۵ است:

$$f'(5) = \lim_{x \to 5} \frac{f(x) - f(5)}{x - 5} = 4$$

گام ۲: قاعدهٔ زنجیره‌ای. برای تابع مرکب $h(x) = f(g(x))$:

$$h'(x) = g'(x)\,f'(g(x))$$

گام ۳: جای‌گذاری در $x = 2$. چون $g(2) = 5$، باید مشتق $f$ را در ۵ بگذاریم:

$$h'(2) = g'(2)\,f'(g(2)) = 3 \times f'(5) = 3 \times 4 = 12$$