سوال ۹ — سؤال ۹ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۴۰۵، نوبت عصر

$\displaystyle f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{x} - 0}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} = +\infty$

یا: $\displaystyle f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt[3]{h} - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt[3]{h^2}} = +\infty$

تابع در یک نقطه مماس قائم دارد وقتی در آن نقطه پیوسته باشد و مشتق چپ و راستش هر دو $+\infty$ (یا هر دو $-\infty$) باشد؛ یعنی شیب خط مماس بی‌نهایت شود.

تابع $\sqrt[3]{x}$ در $x = 0$ پیوسته است و $f(0) = 0$. طبق تعریف مشتق:

$$f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{x}}{x}$$

چون $x = \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x^2}$ است، کسر ساده می‌شود:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{x}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$$

وقتی $x \to 0$ (از چپ یا از راست)، $x^2$ مقداری مثبت و بسیار کوچک است؛ پس $\sqrt[3]{x^2} \to 0^+$ و:

$$f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} = +\infty$$

مشتق از هر دو طرف $+\infty$ است؛ پس نمودار $f(x) = \sqrt[3]{x}$ در $x = 0$ مماس قائم دارد (خط مماس همان محور $y$ها، یعنی $x = 0$، است).