سوال ۶ — سؤال ۶ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۴۰۵، نوبت عصر

$T = \frac{2\pi}{|b|} = \frac{2\pi}{\frac{1}{2}} = 4\pi$

$\max = |a| + c = 2$ و $\min = -|a| + c = -4$ $\Rightarrow c = -1$ و $|a| = 3$

یا: $c = \frac{\max + \min}{2} = \frac{2 + (-4)}{2} = -1$ و $|a| = \frac{\max - \min}{2} = \frac{2 - (-4)}{2} = 3$

دورهٔ تناوب: تابع $a\sin(bx) + c$ دورهٔ تناوب $\frac{2\pi}{|b|}$ دارد. اینجا $b = \frac{1}{2}$ است:

$$T = \frac{2\pi}{\frac{1}{2}} = 4\pi$$

مقادیر $c$ و $|a|$: مقدار $\sin\left(\frac{x}{2}\right)$ بین $-1$ و $1$ است؛ پس $a\sin\left(\frac{x}{2}\right)$ بین $-|a|$ و $|a|$ تغییر می‌کند و با اضافه کردن $c$:

$$\max = |a| + c = 2 \qquad \min = -|a| + c = -4$$

دو معادله را با هم جمع می‌کنیم:

$$2c = -2 \Rightarrow c = -1$$

و با گذاشتن $c = -1$ در معادلهٔ اول:

$$|a| - 1 = 2 \Rightarrow |a| = 3$$

راه کوتاه‌تر: $c$ وسطِ ماکزیمم و مینیمم است و $|a|$ نصفِ فاصلهٔ آن‌ها:

$$c = \frac{2 + (-4)}{2} = -1 \qquad |a| = \frac{2 - (-4)}{2} = 3$$