سوال ۱۱ — سؤال ۱۱ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۴۰۵، نوبت عصر

الف) $y' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\left(2x^2 - \frac{5}{x}\right) + (\sqrt{x} - 7)\left(4x + \frac{5}{x^2}\right)$

ب) $y' = 4\left(\frac{2}{3\sqrt[3]{x^2}}\right)\left(2\sqrt[3]{x} - 1\right)^3$

الف) تابع حاصل‌ضرب دو عامل است؛ از قاعدهٔ مشتق ضرب استفاده می‌کنیم:

$$(uv)' = u'v + uv'$$

با $u = \sqrt{x} - 7$ و $v = 2x^2 - \frac{5}{x}$:

$$u' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

برای $v$ دقت کنیم که $-\frac{5}{x} = -5x^{-1}$ و مشتقش $5x^{-2} = \frac{5}{x^2}$ است:

$$v' = 4x + \frac{5}{x^2}$$

پس:

$$y' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\left(2x^2 - \frac{5}{x}\right) + (\sqrt{x} - 7)\left(4x + \frac{5}{x^2}\right)$$

ب) تابع به شکل $u^4$ است؛ از قاعدهٔ مشتق توان (زنجیره‌ای) استفاده می‌کنیم:

$$(u^n)' = n\,u^{n-1}\,u'$$

با $u = 2\sqrt[3]{x} - 1 = 2x^{\frac{1}{3}} - 1$:

$$u' = 2 \times \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x^2}}$$

پس:

$$y' = 4\left(2\sqrt[3]{x} - 1\right)^3 \times \frac{2}{3\sqrt[3]{x^2}}$$