سوال ۵ — سؤال ۵ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۴۰۵، نوبت عصر

الف) $y + 2 = -\sqrt{3 - x} \Rightarrow (y + 2)^2 = 3 - x \Rightarrow x = 3 - (y + 2)^2$

$f^{-1}(x) = 3 - (x + 2)^2$ و $D_{f^{-1}} = (-\infty, -2]$

ب) $(f^{-1} \circ f)(1) = 1$

الف) به جای $f(x)$ می‌نویسیم $y$ و $x$ را بر حسب $y$ پیدا می‌کنیم:

$$y = -2 - \sqrt{3 - x} \Rightarrow y + 2 = -\sqrt{3 - x}$$

دو طرف را به توان دو می‌رسانیم:

$$(y + 2)^2 = 3 - x \Rightarrow x = 3 - (y + 2)^2$$

حالا جای $x$ و $y$ را عوض می‌کنیم تا ضابطهٔ وارون به دست آید:

$$f^{-1}(x) = 3 - (x + 2)^2$$

دامنهٔ تابع وارون همان برد تابع $f$ است. چون $\sqrt{3 - x} \ge 0$ است:

$$-\sqrt{3 - x} \le 0 \Rightarrow -2 - \sqrt{3 - x} \le -2$$

پس برد $f$ بازهٔ $(-\infty, -2]$ است و:

$$D_{f^{-1}} = R_f = (-\infty, -2]$$

(این شرط مهم است: ضابطهٔ $3 - (x + 2)^2$ به‌تنهایی برای همهٔ اعداد تعریف می‌شود، ولی وارونِ $f$ فقط روی $(-\infty, -2]$ است.)

ب) تابع وارون کارِ تابع را خنثی می‌کند؛ یعنی برای هر $x$ در دامنهٔ $f$ داریم $(f^{-1} \circ f)(x) = x$. دامنهٔ $f$ جایی است که $3 - x \ge 0$، یعنی $x \le 3$؛ و $1$ در آن است. پس:

$$(f^{-1} \circ f)(1) = 1$$

برای اطمینان می‌توانیم حساب هم کنیم: $f(1) = -2 - \sqrt{2}$ و

$$f^{-1}(-2 - \sqrt{2}) = 3 - (-2 - \sqrt{2} + 2)^2 = 3 - 2 = 1$$