سوال ۱۴ — سؤال ۱۴ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۴۰۵، نوبت عصر

$V = \pi r^2 h = 3000 \xrightarrow{\pi = 3} h = \frac{1000}{r^2}$

$S(r) = \pi r^2 + 2\pi r\left(\frac{1000}{r^2}\right) = 3r^2 + \frac{6000}{r}$

$S'(r) = 6r - \frac{6000}{r^2} = 0 \Rightarrow r = 10$

مقدار فلز به‌کار رفته همان مساحت سطح قوطی است. قوطی در ندارد؛ پس سطح آن یک قاعدهٔ دایره‌ای و سطح جانبی است:

$$S = \pi r^2 + 2\pi r h$$

گام ۱: $h$ را بر حسب $r$ بنویسیم. حجم قوطی $3000$ است و $\pi \simeq 3$:

$$V = \pi r^2 h = 3000 \Rightarrow 3r^2 h = 3000 \Rightarrow h = \frac{1000}{r^2}$$

گام ۲: مساحت را تابعی از $r$ بنویسیم.

$$S(r) = 3r^2 + 2(3)r\left(\frac{1000}{r^2}\right) = 3r^2 + \frac{6000}{r}, \qquad r > 0$$

گام ۳: نقطهٔ بحرانی را پیدا کنیم.

$$S'(r) = 6r - \frac{6000}{r^2} = 0 \Rightarrow 6r^3 = 6000 \Rightarrow r^3 = 1000 \Rightarrow r = 10$$

گام ۴: جدول تغییرات. برای $0 < r < 10$ (مثلاً $r = 1$) داریم $S'(1) = 6 - 6000 < 0$، پس $S$ نزولی است؛ برای $r > 10$ (مثلاً $r = 20$) داریم $S'(20) = 120 - 15 > 0$، پس $S$ صعودی است:

تابع تا $r = 10$ کم و بعد از آن زیاد می‌شود؛ پس کمترین مقدار فلز وقتی مصرف می‌شود که شعاع قاعده $10$ سانتی‌متر باشد. (در این حالت $h = \frac{1000}{100} = 10$ سانتی‌متر است.)