سوال ۱۶ — سؤال ۱۶ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۴۰۵، نوبت عصر

$r = \sqrt{(6 - 3)^2 + (1 - 5)^2} = 5$

$(x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 25$

یا به شکل گسترده: $x^2 + y^2 - 6x - 10y + 9 = 0$

شعاع دایره، فاصلهٔ مرکز تا هر نقطهٔ روی دایره است. فاصلهٔ مرکز $(3, 5)$ تا نقطهٔ $(6, 1)$:

$$r = \sqrt{(6 - 3)^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

معادلهٔ دایره با مرکز $(\alpha, \beta)$ و شعاع $r$ به شکل $(x - \alpha)^2 + (y - \beta)^2 = r^2$ است:

$$(x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 25$$

اگر پرانتزها را باز کنیم، شکل گستردهٔ معادله به دست می‌آید:

$$x^2 - 6x + 9 + y^2 - 10y + 25 = 25 \Rightarrow x^2 + y^2 - 6x - 10y + 9 = 0$$

(راه دوم راهنما: در معادلهٔ $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$، مرکز $\left(-\frac{a}{2}, -\frac{b}{2}\right)$ است؛ پس $a = -6$ و $b = -10$. سپس از $r = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2 - 4c}$ داریم $5 = \frac{1}{2}\sqrt{36 + 100 - 4c}$ و در نتیجه $c = 9$.)