سوال ۸ — سؤال ۸ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۴۰۵، نوبت عصر

الف) $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x - \sqrt{x}}{x^2 + x - 2} \times \frac{x + \sqrt{x}}{x + \sqrt{x}} = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - x}{(x^2 + x - 2)(x + \sqrt{x})} = \lim_{x \to 1} \frac{x(x - 1)}{(x - 1)(x + 2)(x + \sqrt{x})} = \frac{1}{6}$

ب) $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{-3x^5}{2x^2} = \lim_{x \to -\infty} -\frac{3}{2}x^3 = +\infty$

پ) $-\infty$

الف) با گذاشتن $x = 1$، صورت $1 - 1 = 0$ و مخرج $1 + 1 - 2 = 0$ می‌شود؛ حالت مبهم $\frac{0}{0}$ داریم. چون صورت رادیکال دارد، صورت و مخرج را در مزدوج صورت، یعنی $x + \sqrt{x}$، ضرب می‌کنیم:

$$\frac{x - \sqrt{x}}{x^2 + x - 2} \times \frac{x + \sqrt{x}}{x + \sqrt{x}} = \frac{x^2 - x}{(x^2 + x - 2)(x + \sqrt{x})}$$

صورت و مخرج را تجزیه می‌کنیم: $x^2 - x = x(x - 1)$ و $x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)$. عامل صفرکنندهٔ $x - 1$ ساده می‌شود:

$$\lim_{x \to 1} \frac{x(x - 1)}{(x - 1)(x + 2)(x + \sqrt{x})} = \lim_{x \to 1} \frac{x}{(x + 2)(x + \sqrt{x})} = \frac{1}{3 \times 2} = \frac{1}{6}$$

ب) در حد بی‌نهایت یک کسر گویا، فقط جملهٔ با بزرگ‌ترین توان در صورت و مخرج مهم است:

$$\lim_{x \to -\infty} \frac{-3x^5 + 7x}{2x^2 - 9} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-3x^5}{2x^2} = \lim_{x \to -\infty} -\frac{3}{2}x^3$$

وقتی $x \to -\infty$، مقدار $x^3$ به $-\infty$ می‌رود و ضرب در عدد منفیِ $-\frac{3}{2}$ آن را به $+\infty$ می‌برد:

$$\lim_{x \to -\infty} -\frac{3}{2}x^3 = +\infty$$

(راه دیگر: از بزرگ‌ترین توان در صورت و مخرج فاکتور بگیریم؛ $\frac{-3x^5\left(1 - \frac{7}{3x^4}\right)}{2x^2\left(1 - \frac{9}{2x^2}\right)}$ و پرانتزها به $1$ میل می‌کنند.)

پ) وقتی $x \to 2^-$، یعنی $x$ از سمت چپ و با مقدارهای کمی کوچک‌تر از $2$ به $2$ نزدیک می‌شود:

• $x$ به $2$ نزدیک می‌شود (مثبت است)؛
• $x - 2$ عددی منفی و بسیار نزدیک به صفر است، یعنی $x - 2 \to 0^-$.

پس مخرج $x(x - 2)$ به $0^-$ میل می‌کند و صورت عدد مثبت $1$ است:

$$\lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x(x - 2)} = \frac{1}{0^-} = -\infty$$