سوال ۷ — سؤال ۷ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۴۰۵، نوبت عصر

$\sin x = 4$ غیرقابل قبول است.

$\cos x = -\frac{1}{2} \Rightarrow \cos x = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) \Rightarrow x = 2k\pi \pm \frac{2\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}$

حاصل‌ضرب دو عبارت وقتی صفر است که دست‌کم یکی از آن‌ها صفر باشد:

$$\sin x - 4 = 0 \quad \text{یا} \quad 2\cos x + 1 = 0$$

حالت اول: $\sin x = 4$. مقدار سینوس همیشه بین $-1$ و $1$ است، پس این حالت جواب ندارد (غیرقابل قبول).

حالت دوم:

$$2\cos x + 1 = 0 \Rightarrow \cos x = -\frac{1}{2}$$

می‌دانیم $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ و $\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$؛ پس:

$$\cos x = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \cos\frac{2\pi}{3}$$

جواب کلی معادلهٔ $\cos x = \cos\alpha$ به صورت $x = 2k\pi \pm \alpha$ است؛ بنابراین:

$$x = 2k\pi \pm \frac{2\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}$$